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Beiträge zur Corona-Pandemie

Exponentielles Wachstum

„Die größte Unzulänglichkeit der Menschheit ist ihre Unfähigkeit, exponentielles Wachstum zu verstehen.“
(Albert Allen Bartlett, amerikanischer Mathematiker (1923-2013))

Ein Beispiel

Ein bisher sauberer Teich wird plötzlich von einer einzigen Alge besiedelt.
Diese Algenart hat die Eigenschaft sich zu vermehren.
Sie vermehren sich, in dem sich ihre Anzahl täglich verdoppelt.
Nach 30 Tagen ist der Teich völlig von Algen bedeckt.
Frage:
An welchem Tag war der Teich zu 50% bedeckt?

 

Was sagt uns die Verdopplungszeit ? - eine Erklärung

Die Verdopplungszeit und das exponentielle Wachstum

Die Verdopplungszeit gibt an, wie lange es dauert, bis sich die Zahl der Infizierten verdoppelt, wenn exponentielles Wachstum vorliegt. Die Kanzlerin Angela Merkel sagte in ihrem Podcast vom 28.03.20, dass die Verdopplungszeit der Corona-Fallzahlen "in Richtung von zehn Tagen" gehen müsse, bevor man die Einschränkungen lockern könne. Anfang April sagte sie, der Zeitraum müsse eher bei bis zu 14 Tagen liegen. Gegenwärtig liegt die Verdopplungszeit weit über 14 Tagen. Die Verdopplungszeit kann aber nicht allein das Kriterium für eine Lockerung der Maßnahmen sein.
Der Grund:
Inzwischen hat sich das Wachstum der Infiziertenzahl in Deutschland soweit abgeflacht, dass es nicht mehr exponentiell ist. Es hat sich ein logistisches Wachstum etabliert. Somit verliert die Verdopplungszeit an Aussagekraft.

Was sagt aber dennoch eine Verdopplungszeit im Detail aus?

Was lässt sich alles aus der Verdopplungszeit ableiten?
Wann würde eine "Durchseuchung" ohne Kontaktverbote stattfinden bei exponentiellem Wachstum?

Die nachfolgende Tabelle klärt mit den Excel- und PDF-Downloads auf:

VerdopplungszeitTitelDownload

beliebig

Verdopplungszeit, Durchseuchung, Anzahl Infektionen, Bedarf an Betten, Beatmungsgeräten,..., Diagramm

5 Tage

Verdopplungszeit, Durchseuchung, Anzahl Infektionen, Bedarf an Betten, Beatmungsgeräten,..., Diagramm

10 Tage

Verdopplungszeit, Durchseuchung, Anzahl Infektionen, Bedarf an Betten, Beatmungsgeräten,..., Diagramm

30 Tage

Verdopplungszeit, Durchseuchung, Anzahl Infektionen, Bedarf an Betten, Beatmungsgeräten,..., Diagramm

 

Was sagt uns die Reproduktionszahl R ? - eine Erklärung

Eine weitere Kennzahl zur Bewertung einer Pandemie ist die Reproduktionszahl R. Die Reproduktionszahl ist die Anzahl der Personen, die im Durchschnitt von einem Infizierten innerhalb einer Generationszeit angesteckt werden. Die Generationszeit beschreibt die mittlere Zeitspanne von der Infektion einer Person bis zur Infektion der von ihr angesteckten Folgefälle. Diese Zeitspanne schätzt das RKI für das Corona-Virus auf 4 Tage. Bei einer konstanten Generationszeit von 4 Tagen, ergibt sich R als Quotient der Anzahl von Neuerkrankungen in zwei aufeinander folgenden Zeitabschnitten von jeweils 4 Tagen. Hat sich die Anzahl der Neuerkrankungen im zweiten Zeitabschnitt erhöht, so liegt das R über 1. Ist die Anzahl der Neuerkrankungen in beiden Zeitabschnitten gleich groß, so liegt die Reproduktionszahl bei 1. Dies entspricht dann einem linearen Anstieg der Fallzahlen. Wenn dagegen nur jeder zweite Fall eine weitere Person ansteckt, also R = 0,5 = 1/2 ist, dann halbiert sich die Anzahl der neuen Infektionen innerhalb der Generationszeit, die Ausbreitung des Virus geht zurück.
Als Voraussetzung für eine Lockerung der Maßnahmen nannte RKI-Präsident Wieler deshalb mehrfach einen Wert unter eins.
Dass diese Forderung alleinig für sich genommen unsinnig ist, liegt daran, dass R eine Verhältniszahl ist, die die absolute Zahl der täglichen Neuzugänge an Infizierten nicht berücksichtigt.
So wurde Wuhan am 08.04. mit einer Reproduktionszahl von R=1,7 in die Freiheit entlassen.

R= 1,7 = 17/10 = 170/100 = 1.700/1.000 = 17.000/10.000 = ...
Werden nun 17 von 10 infiziert oder 17.000 von 10.000? Der Reproduktionszahl ist es gleichgültig, R=1,7.

R= 0,8 = 8/10 = 80/100 = 800/1.000 = 8.000/10.000 = ...
Werden nun 8 von 10 infiziert oder 8.000 von 10.000? Der Reproduktionszahl ist es gleichgültig, R=0,8.

(Näheres s. Corona-Statement vom 28.04.20)

Quelle: RKI: Epidemiologisches Bulletin, 17|2020 Entwicklung der SARS-CoV-2-Epidemie in Deutschland – Nowcasting, S. 12 ff. (PDF)

Die Reproduktionszahl ist allerdings eine sehr sensible Größe.
Schon die Veränderung in der ersten Stelle nach dem Komma führt zu starken Veränderungen im Verlauf einer Epidemie.
Wie lässt sich dieses Verhalten aus der Reproduktionszahl ableiten?

Die nachfolgende Tabelle klärt mit den Excel- und PDF-Downloads auf:

ReproduktionsrateTitelDownload

R beliebig

Bestimmung der Verdopplungszeit mit Diagramm für den Verlauf

R=1,1=11/10

Bestimmung der Verdopplungszeit mit Diagramm für den Verlauf

R=1,2=12/10

Bestimmung der Verdopplungszeit mit Diagramm für den Verlauf

R=1,3=13/10

Bestimmung der Verdopplungszeit mit Diagramm für den Verlauf

 

Logistisches Wachstum

Was ist das? - eine Erklärung

Beim logistischen Modell geht es genauso wie beim exponentiellen Modell darum, auf der Basis einer Datenzeitreihe eine mathematische Funktion zu finden, die sich möglichst gut dieser Datenzeitreihe anpasst. Damit ist es möglich verschiedene Aussagen auf Basis dieser Funktion abzuleiten. Bei den Aussagen sind Maxima, Minima, Nullstellen (Schnittpunkte mit der Zeitachse), Wendepunkte, Prognosen u.s.w. gefragt. Bei einer logistischen Funktion gibt es eine obere Schranke (Sättigungsgrenze). An dieser wird das Wachstum begrenzt, höhere Werte dieser Funktion gibt es nicht. Insbesondere stellt aber auch der Wendepunkt einen markanten Punkt dar. Bis zu diesem Wendepunkt steigen die Wachstumsraten immer schneller an. Die Kurve zeigt ein dramatisches Wachstum. Trügerisch ist dabei der Verlauf in der Anfangsphase, da die zunächst niedrigen Zahlen unterschätzt werden. Das Ausmaß des Wachstums wird nicht für möglich gehalten. Epidemien entwickeln sich jedoch in dieser Anfangsphase exponentiell. Nach dem Wendepunkt nehmen die Wachstumsraten ab. Der Prozess des Wachstums kommt an einer oberen Schranke letztendlich zum Erliegen.

Der Versuch einer Prognose

Verlauf der gesamten Infektionen in Deutschland (Stand vom 29.06.20)

Im Diagramm werden die bekannten gesamten Infektionen (blau) und zwei aus diesen Daten mathematisch berechnete Kurven dargestellt.
Die magenta-Kurve ist eine logistische Wachstumsfunktion und stellt den wahrscheinlichen Verlauf dar.
Die schwarze Kurve ist eine exponentielle Wachstumsfunktion und stellt den Verlauf dar, wenn keine Maßnahmen beschlossen worden wären.
Dies hätte über 9 Mio. Infizierte zu Ostern zur Folge gehabt.
Die senkrechte rote Linie markiert den Wendepunkt für den 10.03.
Die ursprüngliche obere Schranke mit S=190.000 Infizierten ist Mitte Juni erreicht worden, allerdings scheint es eine Fortsetzung nach oben zu geben.

Die obere Schranke ist jetzt mit 200.000 Infizierten fixiert und wird Ende Juli/Anfang August erreicht werden. Es ist gut zu erkennen,
dass die logistische Trendfunktion (magenta) nach dem 22.04.2020 eine gute Näherung für den Verlauf der Datenzeitreihe darstellt,
Die logistische Trendfunktion (magenta) zeigt erst im August ein Auslaufen der Pandemie (1. Infektionswelle) in Deutschland an.

 

Tägliche Corona-Statements

mit aktuellen Daten, Erläuterungen, Diagrammen, Berechnungen zu Verdopplungszeit, Reproduktionsrate, Prognosen

DatumTitelDownload

29.06.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

22.06.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

15.06.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

07.06.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

02.06.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

01.06.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

31.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

30.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

29.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

28.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

27.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

26.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

25.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

24.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

23.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

22.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

21.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

20.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahlen, Prognosen

19.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

18.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

17.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

16.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

15.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

14.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

13.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

12.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

11.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

10.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

09.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

08.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

07.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

06.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

05.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

04.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

03.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

02.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

01.05.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

30.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

29.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

28.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

27.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

26.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

25.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

24.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

23.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

22.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

21.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

20.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

19.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

18.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

17.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

16.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

15.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China,
Verdopplungszeiten, Reproduktionszahl, Prognose

14.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China

13.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China

12.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China

11.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China

10.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China

09.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China

08.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland, USA und China

07.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland und USA

06.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland und USA

05.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland und USA

04.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland und USA

03.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland

02.04.

Corona-Statement
mit logistischem Wachstumsmodell für Deutschland

01.04.

Corona-Statement
ab heute mit logistischem Wachstumsmodell

31.03.

Corona-Statement

Update vom 01.04.20, 12:30 Uhr

30.03.

Corona-Statement

29.03.

Corona-Statement

28.03.

Corona-Statement

27.03.

Corona-Statement

26.03.

Corona-Statement

25.03.

Corona-Statement

24.03.

Corona-Statement

23.03.

Corona-Statement

22.03.

Corona-Statement

21.03.

Corona-Statement

20.03.

Corona-Statement

19.03.

Corona-Statement

18.03.

Corona-Statement

17.03.

Corona-Statement

16.03.

Corona-Statement

 

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Für Ergänzungen, Hinweise und sonstige (Inter)nette Mitteilungen: Heinz Lindner   E-Mail: corona [at] lindner - dresden.de

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